Limite e Continuidade

1 - O conceito de limite de uma função é uma das idéias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria.

Primeiramente analisaremos a idéia de limite de forma intuitiva e então formalmente. O conceito de limite é utilizado para descrever como uma função varia. Algumas funções podem variar de forma contínua, isto é, pequeninas mudanças em x produzem também pequeninas mudanças em f(x). Outras funções apresentam valores que "pulam" de um para o outro" ou que variam aleatoriamente. Os limites também são utilizados na definição de linhas que tangenciam as curvas dos gráficos das funções. Tal conceito geométrico levar-nos-á a outro importante conceito do Cálculo, que é o da derivada de uma função. A derivada quantifica a maneira como uma função está variando.

1.1- Taxas de Mudança (variação) e Limites

Estudaremos agora duas taxas de mudança: a velocidade e a taxa de crescimento populacional. Estes exemplos nos conduzirão ao cerne desse capítulo, que é o conceito de limite.

VELOCIDADE

A velocidade média de qualquer corpo em movimento durante um certo intervalo de tempo é dada pelo quociente entre entre a distância que ele percorreu e o tempo que ele gastou para percorrer esta distância.

EXEMPLO 1 - Uma pedra cai do alto de um penhasco de 50 m de altura. qual é a sua velocidade média (a) durante os primeiros 2 segundos de queda? (b) durante o intervalo de 1 segundo entre o segundo 1 e o segundo 2?

Solução: Experimentos físicos comprovam que um corpo que se encontra em repouso e que é abandonado em queda livre próximo à superfície da Terra, irá cair uma distância (em metros) de:

durante os primeiros t segundos. A velocidade média da pedra durante um dado intervalo de empo é dada pela variação da distância por ela percorrida, y,  dividida pelo intervalo de tempo t.

a) Para os primeiros 2 segundos: